Für Testzwecke habe ich kürzlich einen SharePoint Server 2013 mit einem SQL Server 2012 Express aufgesetzt. Trotz stimmigen Berechtigungen erhielt ich folgende Fehlermeldung:

Cannot connect to database master at SQL Server at SERVERNAME. The database might not exist, or the current user does not have permission to connect to it.

Wie sich schlussendlich herausstellte, ist beim SQL Server 2012 Express – im Gegensatz zu den vorherigen Versionen – nicht mehr standardmässig TCP/IP aktiviert. Dies kann einfach behoben werden:
Öffnen Sie den SQL Server Configuration Manager, navigieren Sie zum Punkt SQL Server Network Configuration > Protocols for und aktivieren Sie dort TCP/IP.

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Weiter sollte überprüft werden, ob der SQL Server Browser Dienst läuft. Diesen finden Sie ebenfalls im SQL Server Configuration Manager unter SQL Server Services.

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Zum Schluss sollte, sofern SharePoint und SQL nicht auf dem gleichen Server laufen, geprüft werden, ob die (Windows-)Firewall-Einstellungen richtig gesetzt sind. Die Konfiguration ist hier beschrieben: Windows Firewall für den SQL Server Zugriff konfigurieren